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[Geometrie]      © Prof. Dr. Dörte Haftendorn
GoldenerSchnitt
Definiton
Herleitung
Besonderheiten Allgemeine Redeweise Literatur Goldener Schnitt
und Kettenbrüche
Goldener Schnitt in der Welt Goldener Schnitt in der Welt mehr dazu Goldenes Rechteck Goldenes Dreieck
Fünfeck Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Goldene Schnecke Goldene Sprirale
Was ist der Goldene Schnitt?








Dieses und die Konstruktionen als
Eine Teilung im Goldenen Schnitt liegt vor, wenn sich die größe Teilstrecke zur ganzen Strecke verhält, wie die kleinere Teilstrecke zur größeren.

    
Definition, Erklärung und Abgrenzung zu anderen Teilverhältnissen(Bild)
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Wenn man also 61,8% von einer Strecke auf der einen Seite nimmt, dann also 38,2% auf der anderen, hat man eine Teilung im Goldenen Schnitt.

Das längere Teilstück heißt "Major", das kürzere "Minor".

Bemerkenswert!Die beiden Zahlen und sind wirklich sehr bemerkenswert: Sie sind Kehrwerte voneinander, beide sind irrational, unterscheiden sich aber nur durch die 1 b.z.w. 0 vor dem Komma.

Wie man an der Herleitung sieht, gilt auch noch
T teilt AB im Goldenen Schnitt , dh. Major : Minor = = 1.618...
Statt und werden auch die griechischen Buchstaben rho und tau (z.B. bei Walser) verwendet.

Allgemeine Redeweise T teilt AB innen im Verhältnis 3:2= AT : TB
Verabredung: AB statt |AB| .
T teilt AB außen  im Verhältnis 6:1= AT : TB
B teilt AT innen  im Verhältnis 5:1= AB:BT
Literatur-
Tipps
  • Hans Walser: "Der Goldene Schnitt" Eagle Leipzig 2004 www.eagle-leipzig.de/001-walser.htm
    sehr gutes und reichhaltiges Buch,viele Zeichnungen, schulisch gut erreichbares Niveau, viele Literaurangeben
  • A. Beutelspacher, B. Petri: "Der Goldene Schnitt" Spektrum Heidelberg 1996
    Auch ein sehr gutes Buch, das auch höhere (formalere) mathematische Ansprüche befriedigt. Hierin sind noch mehr Beipiele aus Kunst und Architektur enthalten, umfassende Literaturangaben
Kettenbrüche
Natur
Fibonaccizahlen
Zusammenhang des Goldenen Schnittes mit den Kettenbrüchen
mit den Sonnenblumen
mit den Fibnaccizahlen
Letzteres habe ich in meinem Buch ausgeführt.
Es gilt: Der Quotient aufeinander folgender Fibonaccizahlen strebt gegen den Goldenen Schnitt.
Den Goldenen Schnitt in der Welt erkunden
Anleitung: Hier sind Fotos als Hintergrund in Euklid-Dynageo genommen, b.z.w. in GeoGebra eingefügt.
Du findest einen Goldenen-Schnitt-Tester . Wenn du seine Endpunkte auf wichtige Stellen im Bild ziehst, bleibt das rote Kreuzchen (b.z.w. der innere Teilungspunkt) immer an der Teilungstelle des Goldenen Schnittes. So kannst du erkunden, wo der Architekt den Goldenen Schnitt verwendet hat.
Beachte, dass du an dem das Bild noch verschieben kannst.
Hinweise, wie man das in Euklid-Dynageo macht und weitere technische Infos.
Achtung: in Euklid-Dynageo sind wegen der technisch notwendigen bmp-Bilder die Dateien etwa 0,6 MB groß und man braucht den IE.
In GeoGebra laufen die Dateien in jedem Browser (Java) die Bilder sind *.jpg oder *.gif und damit klein.

Goldenes Rechteck

Goldenes Dreieck

reguläres Fünfeck, Drudenfuss ...
Wie kann man den goldenen Schnitt konstruieren?






Die Einleitung und diese Konstruktionen als
Gegeben ist a.
Gesucht ist der Teilungspunkt T.

Man richtet zuerst die Hälfte von a senkrecht auf.
Weiter wie gezeigt.

Konstruktion

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Hier ist T ein "innerer" Teilungspunkt.
Man auch einen "äußeren" Teilungspunkt suchen.

Konstruktion des Goldenen Schnittes aus dem Major
Gegeben ist eine Strecke a= AB. Gesucht ist ein äußerer Punkt T, so dass B dann AT im Goldenen Schnitt teilt.
Konstruktion:
Über a wird ein gleichseitiges Dreieck konstruiert. Mit Senkrechten auf seine Seiten erhält man E. Der Kreis um E erzeugt T.

Konstruktion

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Übrigens handelt es sich hier nicht - wie man zunächst meinen könnte- um eine "Äußere Teilung im Goldenen Schnitt". Es ist nämlich AT : TB = (AT/AB)*(AB/TB)=   *=1+ =2,618...
Wird eine Strecke außen im Goldenen Schnitt geteilt, muss die Strecke selbst der Minor sein.
A minor B major T


Konstruktion des Goldenen Schnittes aus dem Minor   
Wenn man den 72°-Winkel nicht vom Geodreick ablesen will, kann man ihn aus der Fünfecks-Konstruktion gewinnen. Die Fünfecks-Tortenstücke haben eine Mittelpunktswinkel von 72°
Aufgabe:
Zeige, dass auch hier der Goldene Schnitt konstruiert wird.
Hier teilt T die Strecke BA im Goldenen Schnitt.
Man kann auch sagen:
B teilt AT im Goldenen Schnitt.

Soweit die exakten Redeweisen.
Ehe man sich aber aber da mit lernenden Menschen abmüht, ist es viel wichtiger zu wissen:
Der goldene Schnitt liegt vor, wenn ein "Ganzes" so unterteilt wird, dass auf der einen Seite 61,8% und auf der anderen Seite 38,2% des Ganzen liegen.
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Goldenes Rechteck



Dieses und das Folgende als
Definition von Euklid: Wenn bei einem Rechteck beim Abteilen des Quadrates der kürzeren Seite ein Reckteck mit demselben Seitenverhältnis übrig bleibt, dann heißt es "Goldenes Rechteck."

Konstruktion   

interaktiv 

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Beim Goldenen Reckteck ist das Seitenverhältnis der goldene Schnitt.
Goldene Schnecke
Setzt man das Quadrate-Abteilen fort, so entsteht eine Quadratschnecke. Die passenden Viertelbögen ergeben die "Goldene Schnecke".
Goldschnecke ohne Strahlen   download
Goldschnecke mit Strahlen    download

Faszinierend ist, dass die passenden Eckenverbindungen durch nachfolgende Ecken verlaufen und sich in einem Punkt treffen.
Dies ist eine Folge der Forderung nach sich wiederholdenden Seitenverhältnissen.
Wenn man nämlich das Verhältnis von 1,61804 auf 1,623 ändert, fällt alles auseinander.
Goldschnecke mit Strahlen falsch    download


Das kann man nur in einem DMS oder DGS realisieren, in dem man Parametervariation oder Schieberegler, Zahlgleiter oder immer das heißt, hat.
 
Goldene SpiraleAuf der Tagung der GDM 2011 in Freiburg hat StD Hartmut Müller-Sommer ein schönes Poster über die Goldene Spirale präsentiert (siehe rechts). Sie ist in Polarkoordinaten gegeben durch gegeben durch

Das hat mich angeregt, sie zu untersuchen und mit der Goldenen Schnecke zu vergleichen.
Die multikativen Eigenschaften dieser durch eine Exponentialfunktion gegebenen Spirale finden sich in leich abgewandelter Form bei allen Exponential-Spiralen und lassen sich leicht mit analytischen Methoden zeigen.. (Warum man diese meist "Logarithmische Spiralen" nennt, ist mir ein Rätsel.)
Aber die additiven Eigenschaften gelten nur, weil Phi der Goldene Schnitt ist.
Das alles ist im Folgenden ausgeführt:
   
  • Die Goldene Spirale und ihre Eigenschaften
  • Interaktive Erkundung der Goldenen Spirale bezüglich Radien und Bogenlängen
  • Interaktive Erkundung der Goldenen Spirale bezüglich Sektorflächen
  •     
  • Vergleich der Goldenen Spirale mit der Goldenen Schnecke
  • Erste Annäherung an einen Vergleich
  • Exakter Nachweis der Verschiedenheit
  • Eine weitere -die beste- Art der Näherung, bei der die Berührpunkte der Goldenen Schnecke exakt übernommen werden als Punkte der Goldenen Spirale, jedoch dabei nicht Berührpunke bleiben. (Idee von Prof. D.Riebesehl)
  • Weitere verallgemeinerungen und Untersuchungen dazu auf der Seite Spiralen
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