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Konstruierbarkeit und Quasi-Konstruktionen


Mit "strengen Konstruktionen", gemeint ist "mit Zirkel und Lineal", kann man einen allgemeinen Winkel nicht dritteln, den Würfel nicht verdoppeln, 7-Eck, 9-Eck und viele andere nicht konstruieren und den nicht Kreis quadrieren. Es handelt sich um die klassischen unlösbaren Probleme der Antike. Dass sie aber wirklich unlösbar sind, lässt sich mit algebraischen Methoden beweisen und das gelang erst ab dem 19. Jh. Der Kern der Beweise liegt darin, dass sich mit Zirkel und Lineal allenfalls Probleme lösen lassen, die auf Quadratwurzeln oder endliche Schachtelungen von Quadratwurzeln führen. Sie gehören zu Gleichungen mit einem Zweier-Potenz-Grad. Daher lassen sich i.a. Lösungen von Gleichungen 3. Grades und vieler anderer Grade nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren. Genauere Zählung der konstrierbaren n-Ecke.
Bei der Kreisquadrierung muss erscheinen und das lässt sich als transzendente Zahl sicher nicht konstruieren (Beweis von Lindemann 1882)und zwar auch nicht als Quasi-Konstruktion. Die ersten vier Probleme führen auf Gleichungen 3. Grades, deren Lösungen sind dritte Wurzeln und damit nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Quasi-Konstruktionen

Hier wird nun vorgestellt, wie man durch Hinzunahme eines Parabellineals -also einer Schablone für den Graph der Normalparabel- Quasi-Konstruktionen zur Lösung der allgemeinen Gleichung 3. Grades durchführen kann. Die Parabelschablone ist dabei am Computer realisiert durch die Normalparabel als Kegelschnitt, die sich in GeoGebra mit anderen Kegelschnitten, hier Kreis und Gerade zum Schnitt bringen lässt. Die so gewonnenen Lösungspunkte lassen sich beliebig weiter verwenden und sie sind mathematisch exakt wie bei den üblichen Zirkel-Lineal-Konstruktionen auch. Daher sprechen wir von einer Quasi-Konstruktion. Sie unterscheidet sich fundamental von Konstruktionen mit "Einpassung" und von Näherungslösungen .
Als Folge der Lösung von Gleichungen 3. Grades mit Zirkel, Lineal und Parabellineal lassen sich auch für Winkeldrittelung, Würfelverdoppelung, 7-Eck und 9-Eck Quasi-Konstruktionen finden, die wir auch hier vorstellen. Dass sich dieses dann auf 14-Eck 28-Eck....sowie 18-Eck, 36-Eck.... fortpflanzt ist klar. Durch die Winkeldrittelung als Quasi-Konstruktion kann man dann aber auch alle Dreierpotenzen der bisherigen konstruierbaren n-Ecke quasi-konstruieren. Während es für n<300 nur 34 streng-konstruierbare n-Ecke gibt, sind es dazu nun noch 41 zusätzliche quasi-konstruierbare n-Ecke, die mit diesen Erkenntinissen entstehen.Dies wird in einer ausführlichen Seite gezählt.
Übelegt man, dass nur die p-Ecke mit p prim Kandidaten für Quasi-Konstruierbarkeit sind, deren p-1 ausschließlich die Primfaktoren 2 und 3 hat, so könnten das 13-Eck und das 19-Eck quasi-konstruierbar sein.
Sie sind es tatsächlich: Beweis und neue Zählung der mindestens quasi-konstruierbaren n-Ecke bis n=300
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Gleichung 3. Grades lösen mit Quasi-Konstruktion Winkeldritteln als Quasi-Konstruktion Würfelverdoppeln als Quasi-Konstruktion 7-Eck-konstruieren als Quasi-Konstruktion
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Idee der Quasi-Konstruktionen: © Prof. Dr. Dieter Riebesehl  
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