Konstruierbare n-Ecke

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4,  http://haftendorn.uni-lueneburg.de  Aug.06

Automatische Übersetzung aus  MuPAD 3.11, Jan. 06        Update 31.01.06

Es fehlen nocht textliche Änderungen, die MuPAD 4 direkt berücksichtigen, das ist in Arbeit.

Web:  http://haftendorn.uni-lueneburg.de             www.mathematik-verstehen.de

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Eine Fermat-Primzahl ist eine Primzahl der Gestalt  image

fermatZahlen:=2^(2^m) +1 $ m=0..4

math

factor(2^(2^m) +1) $ m=0..4

math

Diese ersten fünf Fermatschen Zahlen sind  Primzahlen.

Die nächsten drei sind zerlegbar.

factor(2^(2^m) +1) $ m=5..7

math

Bis heute hat man keine weiteren  Fermatschen Primzahlen gefunden.

 

Satz von Gauß: Das n-Eck mit n>2 ist genau dann konstruierbar,

wenn n eine Zweierpotenz ist oder sich schreiben lässt als

image

mit verschiedenen Fermat-Primzahlen pi

Gute Erklärungen und Ergänzungen in:

W. Henn: Elementare Algebra und Geometrie Vieweg 2003

ISBN 3-258-03201-4

 

Alle konstruierbaren n-Ecke mit n < 300

z:=(2^k $ k=2..8)

math

d:=(3*2^k $ k=0..6)

math

f:=(5*2^k $ k=0..5)

math

s:=(17*2^k $ k=0..4)

math

h:=257;

math

df:=(3*5*2^k $ k=0..4)

math

ds:=(3*17*2^k $ k=0..2)

math

fs:=(5*17*2^k $ k=0..1)

math

dfs:=(3*5*17*2^k $ k=0..0)

math

alle:=(z,d,f,s,h,df,ds,df):

alle:={alle}:

alle[1..10];alle[11..20];alle[21..30];alle[31..34];

math

math

math

math

Dies sind die 34 für alle mit Zirkel und Lineal konstruierbaren n-Ecke, n<300

matrix([sort([op(alle[1..17])]),sort([op(alle[18..34])])]);

math

 

Die  nicht mit Zirkel und Lineal konstrierbaren n-Ecke mit n<300

stehen hier unten:

(gruppiert in nach Zehnern)

(nk[k]:={}:

for i from 10*(k-1) to 10*k-1 do

if  not contains(alle,i) then nk[k]:=(nk[k] union {i})

end_if

end_for )  $ k=1..30:

nk

math

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quasi-konstruierbare n-Ecke

Dieter Riebesehl fand im Jan 06:

Das 7-Eck ist quasi-konstruierbar, d.h. mit Zirkel, Lineal und Parabellineal.

Der allgemeine Winkel ist drittelbar als Quasi-Konstruktion.

Damit ergibt sich eine Liste von quasi-konstruierbaren n-Ecken: n<300

sq:=(7*2^k $ k=0..5)

math

alle7q:=(alle union map(alle,_mult,7))union {sq} //Menge, keine Doppelten

math

gr300:=[i $ i=300..2000]:

alle7qs:=sort(listlib::setDifference([op(alle7q)], gr300))

math

Jetzt ist dieses noch mit allen Dreierpotenzen zu multiplizieren.

alle7qs:

(li[k]:=map(alle7qs,_mult,3^(k-1))) $ k=1..5:

alle73q:=(li[1].li[2].li[3].li[4].li[5]):

gr23000:=[i $ i=300..23000]:

alle73qk:=sort(listlib::setDifference(alle73q, gr23000));

nops(alle73qk);

math

math

 

matrix([sort([op(alle73qk[1..15])]),sort([op(alle73qk[16..30])])

,sort([op(alle73qk[31..45])]),sort([op(alle73qk[46..60])])

,sort([op(alle73qk[61..75])])]);

math

Hier stehen  streng- oder wenigstens quasi-konstruierbare n-Ecke. n<300

Es sind 75 n-Ecke.

Es könnte aber noch weitere quasi-konstruierbare n-Ecke  geben

+++++++++

Die noch nicht erfassten n-Ecke sind die  unten folgenen.

Darunter könnten noch weitere quasi-konstruierbare n-Ecke sein.

Eingearbeitet sind nur die von 3 und 7 "abstammenden Konstuktionen".

(nkq[k]:={}:

for i from 10*(k-1) to 10*k-1 do

if  not contains({op(alle73qk)},i) then nkq[k]:=(nkq[k] union {i})

end_if

end_for )  $ k=1..30:

nkq

math