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Inversion am Kreis  oder  Kreisspiegelung

Wir konstruiert man die Inversion? Definition Arbeitsblatt ab Klasse 8pdf-Seite Konstruktion mit Thales  
Konstruktion ohne Thales      
Tipps für die Einführung In Euklid-Dynageo gibt es "Kreisspiegelung" als Button. Man das auch als "zu erkundende Blackbox" benutzen. Auch wenn man "Tangenten" als heißen Tipp verrät, ist das zugfest Konstruieren der Tangenten (jedenfalls bei meinen Studierenden) immernoch ein Abenteuer. Aber man lernt viel dabei.
In GeoGebra gibt es die Inversion nicht als Befehl, aber die Polare, dann hat man auch schnell den Bildpunkt.
Blackbox-Erkundung mit GeoGebra  
Blackbox-Erkundung mit Euklid-Dynageo
Welche Formel gilt?
r und r' sind also invers zueinander im Sinne der Algebra.
Der Beweis ist eine Anwendung das Kathetensatzes auf das Dreieck OZB mit der Kathete OB=k.
Ausführliche Seite dazu und zu komplexen Zahlenpdf-Seite
Inversion und Polarkoordinaten
Bilder von Figuren bei der InversionInvertiert man ein Polygon (z.B. mit Euklid-Dynageo) durch Invertierung seiner Eckpunkte, so liegt nahe, die Bildpunkte wieder zu einem Polygon zu verbinden. (Achtung, arge Falle!)Euklid-Dynageo dazu download
Bilder von Kurven bei der InversionMan sollte dann, ggf. nachträglich, das Urbild Z an eine Gerade und andere Kurven binden und die Bilder erkunden lassen.
Nun kann die Erkenntnis reifen, dass das Bild eine Polygons gar kein Polygon ist, sondern eine von Kreisbögen begrenzte Figur.
Geradedownload

Gerade mit Ortdownload

Die Inversen bilder von Geraden sind Kreise durch den Ursprungpdf-Seite unten auf der Seite

Polygon richtig download
Inversion
für
Funktionen

Kehrwert-Funktion als Inversion, Extra-Konstruktion rein geometrisch   download
unter Ausnutzung der Polare   download
Inversion und PolarkoordinatenInversion und Polarkoordinaten
Wählt man als Inversionskreis den Einheitskreis um den Ursprung, dann geht der Punkt P(r,t) in den Punkt P'(1/r, t) über, Die Polarradien sin also Kehrwerte voneinander, der Winkel wird beibehalten.
Eine invertierte Kurve ist identisch mit der algebraisch invertierten Kurve.
So erklärt sich auch der Name Inversion.
Inversion und Komplexe ZahlenAusführliche schöne Seite dazupdf-Seite
Das geometrisch Inverse lät sich bestimmen als das konjugiert-Komplexe des algebraisch Inversen.
Siehe auch den Extrabereich Komplexe Zahlen
Hier folgt eine Zusammenstellung einiger Kurven mit ihrer kartesischen Gleichung und ihrer Polargleichung. Grundsätzlich erhält man sie aus einer x-y-Darstellung durch Einsetzen von x=r cos(phi) und y=r sin(phi) und Auflösung nach r.
Kurven
und ihre
Inversen
Die Polargleichung des Inversen einer Kurve ist das algebraisch Inverse ihrer Polargleichung.
Man sieht hier: Geraden und Kreise durch den Urspung sind zueinander invers.
Kegelschnitte
Pascalsche
Schnecken

Diese Hyperbel hat den Brenn- punkt im Ursprung. Ihre Inversion am Einheitskreis ergibt die Pascalsche Schnecke.
Polar-
Darstellung
und Inversion
besser
verstehen
Polar-Darstellung und Inversion besser verstehen dazu
Strophoide
Strophoide als analagmatische Kurve, d.h. sie kann bei Inversion in sich selbst übergehen.
Extraseite zur Inversion der Strophoide
Allerlei Strophoide, LemniskateStrophoide als analagmatische Kurve, d.h. sie kann bei Inversion in sich selbt übergehen.
Lemniskate als Bild einer Hyperbel
Ellipsenbilderpdf-Seite
Ellipse Invers ohne Ortskurvedownload

Ellipse Invers mit Ortskurvedownload
Peaucellier-Gelenk
Inversor
Inversenzirkel
Diese Gelenkkonstruktion setzt eine Kreisbewegung in ein perfekte
Geradenbewegung um. Dieses wurde lange für unmöglich gehalten.
Peaucellier erfand diesen "Inversor" 1864.
Der Inversor von Peaucellierpdf-Seite
Ohne Orstskurvedownload

Mit Orstskurvedownload
Interessante Panne, die mit de
Inversion von weiteren Kurven
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  • Inversion der Ellipse ohne Ortskurve
  • Inversion der Ellipse mit Ortskurve
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