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Rekursion

Ein tragfähiges Konzept für nachhaltigen Mathematikunterricht
in Schule und Hochschule

Einführung
Begriffe
Warum Rekusion?
  • Logistische Parabel
  • Feigenbaumdiagramm
  • Aufgaben
    Allgemeine Rekursion
    Explizite Folgen
    und ihre Grenzwerte
    Einführung Autor Christian Schamott Kl.9 Johanneum 1996Einführendes Beispiel kann ein möglichst handlungsorientiertes Problem sein, das auf eine "rekursive Formel" führt.
    Es eignet sich der Turm von Hanoi (3 Stangen, n Scheiben...)

    Man legt n+1 Scheiben um, indem man n Scheiben umlegt, dann die größte Scheibe platziert und dann wieden n Scheiben in an Schritten auf diese legt. Die rekursive Formel ergibt sich aus der Handlung.

    Die "Treppchen-Darstellung" wird daraus entwickelt.
    Vorgehen: Schreibe zu der rekursiven Formel die "entsprechende Trägerfunktion" auf (kurz Kurve genannt) und zeichne sie zusammen mit der Winkelhalbierenden (Wh).
    Mache dir klar, dass sich die Folgenwerte graphisch ergeben aus:
    Von Start zur nach oben zur Kurve
    Waagerecht zur Wh, senkrecht zur Kurve
    Waagerecht zur Wh, senkrecht zur Kurve
    und so weiter....
  • Einführendes Arbeitsblatt   Lösung zum Arbeitsblatt
    das Arbeitsblatt im Web   die Lösungsgrafik
    Die Lernenden machen erste Erfahrungen, Vokabeln: anziehender, b.z.w. abstoßender Fixpunkt, Einfluss des Startwertes, Abhängigkeit des Verhaltens von der Steigung, ....
  • Spinnweb-Verfahren nochmals ausführlich erklärt, Anleitung zum &Arbeitsblatt, Didaktische Bemerkungen
    Ziel ist das Fazit
  • Interaktive Unterstützung der Einführung Interaktive Möglichkeiten unterstützen das Verstehen
    Fazit Merksatz zur Rekursion allgemein, einige Fragen... Fazit:

    BegriffeDie Formeln mit denen man an+1 aus an berechnet heißen rekursive Formeln (lat: recurrere=zurücklaufen).
    Wenn man die Folgenwerte von einem Startwert ausgehend nacheinander berechnet, geht man iterativ vor (lat.:iterum=wiederum).
    Entsprechend sind Rekusion und Iteration verschiedene Sichtweisen auf dasselbe Problem.
    Ein wirklich rekursives Vorgehen ist für Computer auch möglich. Das kann man besonders gut bei den "Weg-Fraktalen und Lindemayersystemen" und bei den IFS-Fraktalen sehen.
    Bei den "Mandelbrot- und Juliamengen" und beim Lorenzattraktor (und Verwandten) geht man iterativ vor.
    AnmerkungRekursion, die Darstellung mit Spinnwebgraphen und zugehöriges Feigenbaumdiagramm ist mit der logistischen Parabel eindrucksvoll und weit verbreitet. Es geht aber mit allen Kurvenscharen, die abhängig von einem Parameter die Winkelhalbierende verschieden steil schneiden. Hier sollen zuerst die Phänomene an dem Standardbeispiel "logistische Parabel" erkärt werden. Dann folgen Beispiele für allgemeinere Fälle. Das ganze, auch schulisch sehr relevante Thema Wachstum ist natürlich mit Rekursion und Iteration verbunden. Dieses steht auf einer eigenen Leitseite.
    Logistische Parabel
  • Logistische Parabel, grundlegende Erkärungen, dieses als
  • Spinnwebdarstellung rekursiver Folgen mit GeoGebra    download
  • Spinnwebgraphen logistischer Parabel     
  • logistische Parabel und Iterierte, beide mit den Treppchenfolgen (Löhr)       
  • Aus der MuPAD-Datei
  • logistische Parabel mit Euklid-Dynageo   
    geeignet zum interaktiven Erklären des Spinnwebverfahrens
    Dazu eine ausfürliche Erklärungs- und Aufgabenseite
  • Interaktive Iterationen in Spinnweb-Darstellung mit Schiebereglern in Excel, download Excel-Datei
  • http://www.natur-struktur.ch Sehr schöne und reichhaltige Seiten der schweizer Gregor Lehrer und Martin Lüdi und
    Über meine Seiten hinaus wird auch die "Schattenbahn" eingegangen. Darunter verstehen sie die Bahn bei nur wenig abweichenden Startwert. Es wird die Sensitivität demonstriert, die beiden Bahnen entwickeln sich schnetll auseinander.
    Es gibt dagen ein dagegen "Schattenbahn-Lemma", Peitgen nennt es "Beschattungs-Lemma" (Kap. 1.8 in "Chaos, Bausteine der Ordnung"), engl. shadow lemma. Es besagt, das es um jede evt. mit Rundungsfehlern behaftete Bahn einen Epsilonschlauch gibt mit der Eigenschaft, dass es in der Epsilonumgebung des Startwertes einen Startwert gibt, dessen Bahn wirklich ganz in dem Epsilonschlauch liegt. Diese Bahn heißt "Schattenbahn". Das Schattenbahn-Lemma hebelt die Kritik aus, dass man wegen der Rundungsfehler bei Gleitkommazahlen nicht die wahre Bahn sieht.
  • Feigenbaumdiagramm der Logistischen Parabel
  • Feigenbaumdiagramm, Attraktordiagramm, dieses als
  • Bild des Feigenbaumdiagramms mit Markierung der wichtigen Stellen (von Nils Löhr, 2009)
  • Allgemein Rekursion und Feigenbaumdiagramm
  • Begündungen zum Feigenbaumdiagramm mit den Iterierten
  • Für Figenbaumdiagramme kenne ich kein besseres und schnelleres Werkzeug als Turboplot geeignet.
    Didaktisch wertvoll ist die Umschaltbarkeit zwischen den üblichen Zeit-Graphen und der Spinnwebgraphen.
    Dazu ist auch die Betrachtung der Iterierten möglich. http://www.turboplot.de
  • Schöne Feigenbaum-Darstellung und Erläuterung von J.Bentele, Gymnasium Unterrieden und Sindelfingen.[*.zip]
  • Erste Aufgaben und Fragestellungen
  • Aufgabenblatt mit einer Parabelschar, als offene Aufgabe formuliertpdf.gif 26x12stern.gif 24x15
    Iteration an Parabel vom offenen Aufgabenblatt       
  • Lösung dazu in
  • Ing-Math 2 Übung zur Rekursion
  • Rekursion und Iteration allgemein
  • Iteration an beliebiger Funktion       
    geeignet zum interaktiven Erklären des Spinnwebverfahrens
  • Spinnwebgraphen allgemeinDie -Erklärungsseite bei der Logistischen Parabel gilt für alle drei TI-Dateien.
  • Allgemeine Iteration und Rekursion beim Heronverfahren, beim Newtonverfahren
    Iteration, rekursive Folgen, Spinnwebdarstellung nun supereinfach mit MuPAD 4 (und 3)  
  • Variation des Startwertes und des Streckfaktors interaktiv:
    Logistische Parabel
  • Interaktives zum Heronverfahren: siehe oben in MuPAD-4 -Dateien
    Heronverfahren ausführlich erklärt, Umsetzung für TI
  • Heronverfahren zur Wurzelbestimmung (Num 5)
  • Interaktives zum Newtonverfahren: siehe oben in MuPAD-4 -Dateien
    Dort auch der Beweis der superschnellen Konvergenz des Newtonverfahrens.
  • WachstumIterationen in Spinnweb-Darstellung mit Schiebereglern in Excel,Alle Typen: linear, exponentiell, begrenzt, logistisch mit Excel download Excel-Datei


  • Thesen
    Warum Rekursion?

    • Rekursive Formeln sind "dicht an den Problemen"
      Siehe Turm von Hanoi, alle Wachstumsvorgänge, viele numerische Verfahren...
    • Sie können oft von Schülern und Studierenden selbst gefunden werden. Das gilt von den expliziten Formeln nur selten.
    • Die graphische Darstellung einer rekursiven Folge mit Hilfe der Trägerfunktion im "Spinnweb-Verfahren"
      • ist leicht verständlich
      • lässt sich leicht qualitativ von Hand durchführen
      • lässt sich leicht anschaulich mit Computern durchführen
      • erlaubt eine "natürliche" Fundierung des Grenzwertes
      • ist mathematisch sehr ergiebig und aussagekräftig
      • gibt echten Anlass zu der Frage, wie steil eine Kurve in einem Punkt ist
      • erlaubt auch reichhaltige Aufgabenstellungen, in denen "gelerntes Handwerk" gezeigt werden kann
    • Die Betrachtung der Attraktor-Diagramme (=Feigenbaumdiagramme)
      • ist in der Lehre recht leicht erreichbar und dennoch von einer noch nicht ausgeloteten mathematischen Tiefe
      • ermöglicht mit Computern eigenständiges Erkunden der Lernenden
      • ermöglicht die Abtastung der Grenzen der Computer
      • vermittelt eine Einsicht in typische Probleme der Numerik
      • beleuchtet den Grenzwertbegriff durch Darstellung von mehreren Häufungswerten und chaotischem Verhalten
      • erzeugt ein wünschenswertes "Mathematik-Bild"
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    Inhalt und Webbetreuung ©Prof. Dr. Dörte Haftendorn  (1996) Nov. 2002, update 11. April 2011

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