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Fraktale Dimension

Fraktale Dimension: Einführung nahHinführung zum Begriff nahSelbstähnlichkeits-Dimension
Diese Seite als Nikolaushaus Zweig-Arbeitsblatt
nahBox-Dimension nahMessung der Boxdimension nahRaster für Boxdimension
Boxdimension Messung der Boxdimension Messungs-Beispiel

Stelle dir eine geometrische Figur vor und strecke sie dann mit dem Streckfaktor k.
Hast du die vorher die Länge Lalt gemessen, so hat deine Figur nachher die k-fache Länge.
Die rechte Abbildung zeigt dir, daß aber der Flächeninhalt k2 -fach so groß wird, das Volumen wird sogar k3 -fach so groß.
Man sagt:

Wenn wir für Länge, Flächeninhalt, Volumen... als Maß bezeichnen, so gilt offenbar:

Maß neu = Maß alt k dim



Fraktale haben nun die merkwürdige Eigenschaft, daß sie sich beim Strecken weder wie Linien, noch wie Flächen, noch wie Körper verhalten. Man muß bei ihnen zulassen, daß die Dimension nicht notwendigerweise ganze Zahl ist. Sie kann also eine Bruchzahl oder eine beliebige Kommazahl sein. Weil "fractum" (lat.) gebrochen, bzw. "fraction" (engl.) Bruch heißt, nennt man diese geometrischen Gebilde

Fraktale.

Am Beispiel des nahNikolaushauses wird der Begriff der fraktalen Dimension nochmals erläutert und eine Formel hergeleitet.

Nicht genug, daß die Fraktale eine Erweiterung des Dimensionsbegriffes erfordern, es sind, je nach Art des oben genannten Maßes, auch noch verschiedene "Dimensionen" für ein Fraktal sinnvoll.

Wir werden die nahSelbstähnlichkeitsdimension d und die nahBoxdimension D genauer kennenlernen. Den Begründungen sind eigene Seiten gewidmet.

Die Zahlen d und D stimmen nicht immer überein. Bei selbstähnlichen Fraktalen, die sich nicht selbst überschneiden, gilt: d = D .

d bestimmt man durch Nachdenken über Bausteinzahl z und Streckfaktor k .

Dann rechnet man aus: Gleich2 . Nur bei selbstähnlichen Figuren ist die Berechnung von d sinnvoll.

D bestimmt man durch Messungen von Fraktalen, die mit verschiedenen Box-Gittern gerastert sind. Bei jeder geometrischen Figur, d.h. auch bei jedem Fraktal, kann man D wenigstens näherungsweise bestimmen..

Die Boxdimension ist vor allem für die Anwendung des Fraktalbegriffs in den Naturwissenschaften und der Medizin wichtig und sinnvoll.
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