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© Prof. Dr. Dörte Haftendorn

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Site-Info
http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/analysis/polar/polar.htm

Polarkoordinaten

Einführung
Erkundung

große Erkundungs
Aufgaben
Polar-kartesische Koppelung
Vorträge
Didaktik
Werkzeuge
Analysis
Aufgaben

Spiralen
Kurven
Rosetten
Einführung Durch die Graphenzeichner sind heute Polardarstellungen ungeheuer leicht verfügbar.
Daher gibt es viele Gründe, diese auf ihre didaktischen Möglichkeiten hin abzuklopfen und auszuloten.
Ein Pionier in dieser Richtung ist Prof. Günter Steinberg, Oldenburg, der schon vor Jahren ein gutes Buch mit dem Titel "Polarkoordinaten" in die Welt der Mathematik-Lehre gestellt hat.
Erkunden
  • Einführung mit Wurzelspirale (polar pur)download
  • Einführung mit 4-Blatt-Rosette (polar pur)
  • Einführung mit der Archimedischen Spirale (polar-kartesisch)download
  • Polar-Kartesische-Koppelung
  • rosette3.jpg 591x300
    rosette3-regler.jpg 222x80
    definitionenk.jpg 280x200 Diese Datei kann man für die ganze Arbeit mit Polarkoordiaten nutzen.
  • Rosette mit 3 Blättern (polar-kartesisch)download
    • Erklärung
    • Es ist für das Verstehen sehr hilfreich, wenn man die polare und die kartesische Sicht simultan betrachtet. Dazu lassen sich nun in GeoGebra zwei Grafikfenster nebeneinander stellen.
      Man erreicht diese bei "Erweitert" Grafik (links) und Grafik2 rechts.
    • Im Bild links ist vorn die Spalte mit den Definitionen, rechts die mit den Werte. (Man kann das bei "Einstellungen" umschalten.)
    • Die Funktion ist kartesisch mit dem Term r(x) definiert. Zum Umdefinieren lickt man in Grafik 2 und setzt einen anderen Funktionsterm für r(x) (ggf. mit Parameter a) ein.
      Sofort hat man alles passend, allenfalls passt man die Fenstergrößen und den theta-Bereich an.
    • In der Spalte mit den Definitionen sieht man, dass alles sauber mathematisch aufeinander bezogen ist.
    • Man in beiden Fenstern an theta ziehen. Die Werte sind gekoppelt. Dadurch bewegen sich P und K punktweise, langsam, zum Verstehen. Dann erst schaltet man links die Polarkurve als Ortskurve hinzu. Übrigens: mit Strg F entfernt man die Beweungsspuren von P.
    • In der Spalte mit den Werten muss man etwas nachdenken, da GeoGebra für P Winkelgrad anzeigt, theta aber im Bogenmaß definiert ist. Der Name theta für den Polarwinkel wurde gewählt, weil er beim TI Nspire vorgeschrieben ist. Früher hatt man eher phi gewählt.
    • Irritationen kann es dadurch geben, dass manche Lehrbuchautoren -so auch GeoGebra- keine negativen Polarradien dulden. In der obigen Darstellung zeigt der kartesische Punkt K als Ordinate r=-1 beim Polarwinkel 1.85 rad also 106° In der Polarrichtung von 106°liegt P' mit Abs(r). Genau gegenüber ist dann der richtige Punkt P, der eigentlich die Polarkoordinaten (-1;106°) hat und von GeoGebra als (1;286°) angegeben wird.
    • Unten ist nochmals theta von rad in Grad umgerechnet. Das wird relevant, wenn der Schieberegler theta größere Zahelen als 2 Pi anzeiget, aber die GeoGebra-Darstelung bei P mur Winkel bis zu 360° anzeigt.
    • Ähnlich ist das Verhalten bei negativen rad-Werten. K=(-0.1, -0.44) wird an der richtigen Stelle als P=(0.44; 174°) angezeigt, während P'=(0.44; 354°)den richtigen Winkel zeigt, allerdings nicht -6°.
  • Rosette mit mehreren Blätterndownload
  • rosetten_2_wegek.jpg 308x149
  • Rosette mit mehreren Blättern aber anderem Durchlaufdownload
  • Am Verleich dieser beiden Phänomene sieht man, dass man ohne die Betrachtung der kartesischen Darstellung nicht ordentlich erkären kann. Lassen Sie sich dies "auf der Zunge zergehen".
  • Kreis in Polarkoordinaten, kann als Grundlage dienen   download
  • Kreisdurch den Ursprumg in polar-kartesischer Sicht, mit Beweis   
    Der Kreis wird zweimal durchlaufen, wenn phi von 0 bis 2PI läft. Dieses Verhalten ist durch die polar-kartesische Sicht gut zu verstehen.
  • große
    Erkundungs-
    Aufgaben
    propeller-ur97.gif 183x191Propeller-Aufgabe , die ich 1997 für das Buch "Ausgewählte Aufgaben zur Analysis", das Günter Steinberg und Mechthid Ebenhöh 1998 bei Metzler herausgegeben haben, verfasst habe.
    Aufgabe: (kurz) Wo kommt der kleine Zipfel her?
    Propeller mit Zipfel   
    propeller_1_2.jpg 293x290propeller_3_weiter.jpg 403x307
    Klausur-
    Aufgabe
    Schöne Aufgabe für eine Analysis-Klausur , gestellt im Staatsexamen
    Ganze Klausur
    Dort auch Aufgabe zur Didaktik der Polarkoordinaten
  • Polar-Blume polar+kartesisch
  • Vorträge
  • Polar doppelt sehen Vortrag GDM AK MuI Soest 2012    Handzettel    download
  • Polarkoordinaten besser verstehen (2006)    Handzettel    download
    Vortrag auf der GDM-Tagung in Osnabrück am 10.03.06

  • Aufsatz zum Vortrag in Osnabrück (4 Seiten)
  • Aufsatztext zum Vortrag auf der ProMath Lüneburg 2007 (Deutsche Version 15 Seiten)
  • English Version, ProMath-Tagung Lüneburg 2007
    Polar Coordinates in Double-Sight    Handzettel    download
    Lecture to the Internatinal ProMath-Conference in Lünebeurg 31.08.07 (Problem Solving in Mathmatics Education)
  • Algebraische Kurven
    Definitionen
    Rechnungen
  • Definition, Einführungsseite im Zusammenhang mit Kurven
    Auf dieser Seite wird auch auf Algebraische Kurven, insbesondereKonchoiden im Allgemeinen eingegangen.
    Die Gleichung eines Kreises durch den Ursprung, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt, kommt vor.
    Daraus ergeben sich die Polargleichungen der Pascalschen Schnecken.
  • Hundekurve
  • Hundekurve (polar-kartesisch)download
    Die Version"polar-pur" können Sie durch wegklicken des Fensters Grafik 2 erreichen.
  • Hundekurve
  • Hundekurve (polar pur)   Handzettel   im Webplayer     download
  • Pascalsche SchneckenEigene Leitseite für polar-kartesische Darstellung Pascalscher Schnecken
    Pascalsche Schnecken allgemein
    Pascalsche Schnecken mit Inversion in Polarkoordinaten
    Cassinische Kurven Cassinische Kurven aus Polarkoordinaten   
    Cassinische Kurven aus Ortskurven und mehr dazu...
    Rosetten Eigene Leitseite Rosetten
    Auch als Einführung oder bals danach geeignet 
    Strophoide


    Dreiblatt
    Eigene Leitseite Stophoide

    Eigene Leitseite Dreiblatt
    ganz ähnlich aufgebaut
    Didaktik Die Einbeziehung von Polarkoordinaten ist außerordentlich ergiebig, wenn graphikfährige Taschenrechner (oder andere Computerwerkzeuge) vorliegen. Insbesondere ist die Betrachtung von kartesischen r-über Phi-Graphen zur Erkärung der Phänomene bei den Polar-Graphen sehr fruchtbar, übt den "Standardstoff" und lässt hier Klausuren auf jedem Niveau von Klasse 10 bis zum Staatesexamen zu. Auch bei Vorhandensein eines Werkzeugs bleibt genug mathematische Substanz, die andererseits aber auch lehrbar und erreichbar ist.
    Ausfühliches in den Vorträgen
    Schöne Aufgabe für eine Analysis-Klausur, gestellt im Staatsexamen
    Ganze Klausur
    Dort auch Aufgabe zur Didaktik der Polarkoordinaten
  • Polar-Blume
    Polar-Blume polar+kartesisch
  • Werkzeuge  Graphenzeichner als Black-Box:
    Im Einstellungsmenu des Gerätes , b.z.w. der Software findet sich "Polarkoordinaten" und man stellt die schlichte Frage: "Wie bekommen wir heraus, was das heißen soll?".
    In Anlehnung an die Erfahrung, dass Geraden, Parabeln, Wurzelfunktionen die schulisch vertrautesten und einfachsten Funktionen sind, lässt man r(θ)=θ u.ä. durch Zeichnen im Graphikfenster untersuchen.
    Meist bekommen die Lernenden selbst heraus, was "Polarkoordinaten" bedeuten.
     
    CAS:
    Maxima
    MuPAD
  • Alle Computer-Algebra-Systeme, CAS, behandeln Polarkoordinaten:
  • Analysis, besondere Darstellungen (Parametrisch,Polar, Implizit)       

  • MuPAD gibt es ja leider nicht mehr. Dennoch kann man aus meinen Erläuterungen für andere CAS, z.B. Maple, lernen.
    Polarkoordinaten, Erklärungen, erste Schritte     
  • MuPAD 4 (auch schon MuPAD 3) ist ganz besonders gut geeignet. Vielleicht sollte man unter den CAS sogar "optimal" sagen. Mathematica 6 hat jetzt nachgezogen.
    Nun sind da auch Durchläufe und Animation sehr!!!! einfach möglich.
    Polarkoordinaten, Erklärungen, erste Schritte         download
    Ähn liches mit mit MuPAD 3     
    Zur Not: alte Version MuPAD 2.5 (web)  download auf Anfrage, die Graphik ist ab MuPAD 3 um Klassen besser
  • CAS:
    Mathematica
    Maple
  • Mathematica *.nb
  • Maple (auch mit Animation) *.mws siehe unten
    und bei der Inversion der Strophoide
  • CAS: Derive In Derive ist unter dem Menüpunkt
    "Einstellen Koordinatensystem"
    "polar" auszuwählen.
    Dann wird das Passende gezeichnet. Hier kann im Spurmodus der Graph mit dem Karo-Zeiger verfolgt werden. In einem weiteren Graphik-Fenster kann man r über phi auftragen und betrachten (Dazu siehe bei Stophoide)
    Animationen
    MuPAD und Maple ermöglichen ganz einfach diese Graphen (siehe *.mws) zu erzeugen und als animiertes *.gif-Bild zu exportieren. Für MuPAD steht es in obiger Datei Der zugehörige Befehl für Maple und
    Interessantes zum Duchlauf der Kurven steht bei der Strophoide
    Analysis-
    aspekte
    und
    Aufgaben
    Das wichtigste Potential liegt m.E. beim Erkunden und der &Üuml;berschaubarkeit. Es ist auch noch nicht alles so eingefahren und festgefahren. Meist ist bei meinen Aufgaben die polar-kartesische Koppelung inbegriffen. Manches ist hier nicht als Aufgabe ausformuliert, sondern als Anregung für Lehrende und Studierende, eigene Schritte in Facharbeiten etc.
    Spiralen

    Spiralen haben nun auch eine eigene Leitseite


     
     
    Inversion Polar-Koordinaten und Inversion
    Inversion allgemein, reichhaltige Leitseite
    Inversion der Pascalschen Schnecken
    Inversion der Strophoide, eine analagmatische Kurve
    Strophoide, polar-kartesisch Inversion     download

    © Prof. Dr. Dörte Haftendorn
    www.mathematik-verstehen.de
    [Kurven]  [Analysis]  [Polarkoordinaten]  [Polar-Kartesisch [Computer]
    Inhalt und Webbetreuung ©Prof. Dr. Dörte Haftendorn  Mai 2005, update 14. März 2013
    Site-Info
    Link zum Buch
    www.leuphana.de/matheomnibus       www.doerte-haftendorn.de
    http://haftendorn.uni-lueneburg.de     http://www.mathematik-sehen-und-verstehen.de