Integrale- Lerndatei                 

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4,  http://haftendorn.uni-lueneburg.de  Aug.06

Automatische Übersetzung aus  MuPAD 3.11, Aug. 05        Update Sept.05

Es fehlen noch textliche Änderungen, die MuPAD 4 direkt berücksichtigen, das ist in Arbeit.

Web:  http://haftendorn.uni-lueneburg.de             www.mathematik-verstehen.de

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1. Grundlagen rechnen und zeichnen ###

2. Riemann-Summen ###    3. Zwischenflächen ###

 

f:=x->(x-1)^2-1

math

Unbestimmtes Integral

int(f(x), x)

math

Bestimmtes Integral

int(f(x),x=2..4)

math

Um die vom Integral berechnete gewichtete Fläche zu bestimmen,

müssen verschiedenartige Graphik-Elemente kombiniert werden.

Sie heißen "Graphik-Primitive", siehe Graphen-Lerndatei, Level 2.

gf:=plot::Function2d(f(x),x=-1..4,

              Color=RGB::Red, LineWidth=1):

igf:=plot::Integral(gf):

plot(igf,gf)

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Der Befehl plot::Integral bekommt also die eine Graphik-Primitive der Funktion

f übergeben. 

Für Integrale, deren Intervall nicht das Darstellungsintervall ist, muss man einen

kurzen Graphen in dem Intergrationsintervall erzeugen.  

gfklein:=plot::Function2d(f(x),x=2.5..3.5):

igfklein:=plot::Integral(gfklein):

plot(igfklein,gf)

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2. Riemann-Summen ##################

Zur Unterstützung von Unterricht gibt es eine einfache Art,

Riemannsche Untersummen und Obersummen darzustellen.

Das wird durch eine Option in dem plot::Integral -Befehl erreicht.

Die 3 in dem Befehl steht für 3 Streifen.

p:=x->1/2*(x-3)^2+1

math

gp:=plot::Function2d(p(x),x=0..5,

              Color=RGB::Red, LineWidth=1):

igprl:=plot::Integral(gp,3,IntMethod=RiemannLower,

                  Color=RGB::LightYellow,ShowInfo =

                 [IntMethod = "RiemannLower",

                   Error = "Differenz",Position=[2,4.5]]):

igpru:=plot::Integral(gp,3,IntMethod=RiemannUpper):

plot(igpru,gp);plot(igprl,gp);

plot(igpru,igprl,gp,Scaling=Constrained);

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3. Zwischenflächen ############################

h:=x->x*(3-x);

math

gh:=plot::Function2d(h(x),x=-1..3):

plot(gf,gh)

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Erst braucht man wieder Graphik-Primitive der beteiligten Funktionen.

Dann muss in vielen Aufgaben erst noch die Schnittstelle berechnet werden:

lo:=solve(f(x)=h(x))

math

lo2:=(lo[2])[1]

math

xs:=subs(x, lo2)

math

Hier wurde die Lösung herausgriffen und getauft, damit sie nicht von

Hand übertragen werden muss.

zwisch:=plot::Hatch(gf,gh,0..xs)

math

plot(zwisch,gf,gh)

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Berechnung der Zwischenfläche

int(h(x)-f(x),x=0..5/2); float(%);

math

math