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© Prof. Dr. Dörte Haftendorn

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Folgen

Reihen
eigene Leitseite

Didaktik Rekursive
Folgen
Explizite Folgen
Vollständige
Induktion
explizite
Folgen
und Grenzwerte
endliche
Summenfolgen
Wachstumsfolgen Weitere
Folgen
Werkzeuge
Didaktik
    Aufbau einer Einheit zu Folgen, die die Analysis begründet.
  • Als Einstieg eignen sich die rekursiven Folgen. Dieses ist auf der Extraseite Rekursion ausführlich dargestellt und didaktisch begründet
  • Beispiele zur Beweisbedürftigkeit leiten zu Vollständigen Induktion
  • Diese wird durch den "Russischen Zahlmeister" als gedankliches Instrument herasugestellt
  • Grenzwerte sind aus dem rekursiven Teil schon bekannt und werden nun bei expliziten Folgen sauber definiert.
  • Summenfolgen mit Anregung aus "figurierten Zahlen" regen das selberfinden von Formeln an und bieten nochmals Beispiele für vollständige Induktion
  • An dieser Stelle kann die Überleitung zu den unendlichen Reihen erfolgen.
    Dazu Extraseite "Reihen ". Der Beginn ist mit geometrischen Folgen und Reihen sinnvoll
  • Ab der Mittestufe ist das Thema Wachstum sinnvoll. Auch dies steht auf einer Extraseite Wachstum
  • Für die freie Arbeit von Lernenden im Thema Folgen ist GeoGebra bestens geeignet.
    Seit der Version 3 können auch Folgen bequem dargestellt werden.
Rekursion
Explizite Folgen
Vollständige Induktion
Explizite Folgen
und Grenzwerte
Summenfolgen
ReihenEigene Leitseite zu Reihen
Wachstumsfolgen Im Rahmen dieses Lehrgangs bietet es sich an, die üblichen Wachstumsfolgen sowohl explizit als auch rekursiv zu betrachten.
  • Linares Wachstum, Trägerfkt. parallel zur Winkelhalbierenden
  • exponentielles Wachstum, Trägerfkt. Urspungsgerade
  • begrenztes Wachstum, .Gerade mit flacher Steigung, die die Winkelhalbierende schneidet. (wie auf dem Rekusrions-Einführungsblatt)
  • logistisches Wachstum Trägerfkt. Parabel mit gewissen Eigenschaften
Wachstum und Zerfall, Modellierung in der Mathematik, Eigene Leitseite 
Siehe eigene Leitseite auch zu Rekursion
Weitere Folgen Sek II, Hochschule
Informatik
Folgen Sek II
Aufwendigere Folgen lassen sich mit "Umdefinieren" mit den Dateien für einfache Folgen untersuchen. Insgesamt gibt es mathematisch sehr anspruchsvolle Folgen -und erst recht Reihen- wo der Computer nur bescheidene Möglichkeiten bietet.
  • Darunter sind insbesondere die sehr schnell wachsenden Folgen, z.B. Ackermannfolge, die das Problem der Berechenbarkeit aufwerfen.

  • Interessant sind auch die Folgen mit "unvorhersagbarem" Verhalten wie z.B. die Laugwitzfolge (=Ulamfolge, =Hagelkornfolge)

  • Ein Riesenfeld eröffnen die komplexen Iterationsfolgen. Diese sind Im Bereich "Fraktale" untersucht.
  • Werkzeuge
    Werkzeuge
    Werkzeuge, die interaktive Möglichkeiten haben, Erkundungen der Lernenden erlauben:
    In reinen Graphenzeichnern können die hier gebenen Anregungen z.T. umgesetzt werden.
    GeoGebra
    Seit Aug. 07 kann auch GeoGebra Folgen mit einem komfortablen Befehl erzeugen und zeichnen.
    Dynageo
    Folgenerzeugung nur Einzelpunktweise
    MuPAD
    lässt keine Wünsche offen, hat auch interaktive Möglichkeiten
    Excel Derive
    Achtung, Auslaufmodell, wecheln Sie zu MuPAD
    Applet, Java,
    in jedem Browser
    ActiveX, nur
    Internet-Explorer
    Ansicht in jedem Browser 

    nicht im Browsernicht im Browser
    Download  Download  Download 

    Ziel speichern unter...
    nur als Download Derive ist hat gute Schieberegler
    aber nicht im Web
    Als weiteres Werkzeug für diesen Bereich istTurboplot geeignet.
    Didaktisch wertvoll ist die Umschaltbarkeit zwischen den üblichen Zeit-Graphen und der Spinnwebgraphen.
    Dazu ist auch das Attraktor-Diagramm (=Feigenbaum-Diagramm) und die Betrachtung der Iterierten möglich.
      TI voyage:
    • Man wählt mode sequence(Folgen)
    • dann y=-Fenster
    • man traägt z.B. ein: u1(n)=4-1/n^2 für eine expliziete Folge und z.B. u2(n)=3*u2(n-1)*(1-u2(n-1)) mit ui2=0.1 für eine rekursive Folge. Das i in der Buchstabenfolge heißt "initial"=Startwert.
    • Bei F7 Axes (Achsen) wählt man time=Zeit für explizite Folgen und web=Netz mit trace=Spurflg für rekursive Folgen.
    • Mit Diamant Graph wird im letzteren Fall gleich die Winkelhalbierende und die Trägerfunktion eingezeichnet.
    • Mit F3 und der West-Pfeil-Taste erzeugt man die Treppchen
    • .
    Alle mathematischen Computerwerkzeuge sind für Funktionen und Graphen geeignet.
    Lesen Sie die Informationen zu
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