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Sinus und Kosinus zum Wundern

Besonderheiten zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Dazu noch eine stetig-differenzierbare Funktion, die eine relatives Minimum hat, bei dem das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt. Das Vorzeichenwechselkriterium ist i.A. nur hinreichend. Wenn man oszillierende Funktionen ausschließt;, ist das Vorzeichenwechselkriterium notwendig und hinreichend.
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k=0Die Funktion ist unstetig an der Stelle x=0 und sonst stetig.
Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0.
Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0.
Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 beliebig hohe Werte an.
Interaktive Erkärung als Verkettung    
Gesamtbetrachtung    
k=1Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0.
Die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, sonst aber überall
Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 jeden Wert beliebig hohe Werte an.
Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0.
k=2Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0.
Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er der Wert 0.
Die Steigung nimmt in jeder kleinen Umgebung von x=0 jeden Wert zwischen -1 und 1 an.
Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig-differenzierbar.
Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0, ist aber dennoch nicht stetig.
k=3
k>3
Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0.
Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er der Wert 0.
Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0 und ist dort auch stetig.
Die Steigung konvergiert für x gegen 0 ebefalls gegen 0.
Die Funktion ist überall differenzierbar, und sogar überall stetig-differenzierbar.
ggbAlle weiteren Fälle in günstiger Darstellung    
CAS
  • Erzeugung der Graphen in MuPAD       
  • Wundern mit Sinus(1/x) alle Fääle
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    k=0 Die Funktion ist unstetig an der Stelle x=0 und sonst stetig.
    Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0.
    Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0.
    Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 beliebig hohe Werte an.
    Interaktives Verständnis als Verkettung
    k=1Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
    Der Differenzenquotient hat keinen Grenzwert an der Stelle x=0.
    Die Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, sonst aber überall
    Die Steigung nimmt in jeder Umgebung von x=0 jeden Wert beliebig hohe Werte an.
    Die Ableitung hat eine Definitionslücke bei x=0.
    k=2Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
    Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0.
    Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er der Wert 0.
    Die Steigung nimmt in jeder kleinen Umgebung von x=0 jeden Wert zwischen -1 und 1 an.
    Die Funktion ist überall differenzierbar, aber nicht stetig-differenzierbar.
    Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0, ist aber dennoch nicht stetig.
    k=3
    k>3
    Die Funktion ist überall stetig, auch an der Stelle x=0.
    Der Differenzenquotient hat den Grenzwert 0 an der Stelle x=0.
    Der Differentialquotient existiert überall, auch für x=0, dort hat er der Wert 0.
    Die Ableitung hat keine Definitionslücke bei x=0 und ist dort auch stetig.
    Die Steigung konvergiert für x gegen 0 ebefalls gegen 0.
    Die Funktion ist überall differenzierbar, und sogar überall stetig-differenzierbar.
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  • Erzeugung der Graphen in MuPAD       
  • Wundern mit Cos(1/x)
  • Untersuchung des Differenzenquotienten an der Stelle x=0
    Ableitungen

    Asymptoten

  • Asymptoten interaktiv




  • Beispiel einer stetig-differenzierbaren Funktion, die eine relatives Minimum hat, bei dem das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt ist.

    Man sieht deutlich, dass es sich um eine relatives Minimam handet.
    Es ist die oben als stetig-digfferenzierbar nachgewiesene Funktion auf eine Potenzfkt 4. Grades aufgesetzt, daher ist auch diese Funktion stetig-differenzierbar.
    Hier sieht man deutluch , dass die stetige Ableitung, die man nicht "durchzeichnen" kann, nicht für x<0 negativ und für x>0 positiv ist. Also ist trotz des Minimums das Vorzeichenwechselkriterium nicht erfüllt.
     Wer nix weiß sieht nix
    Hauptfall, Minimum ohne VZW, alle Fälle    
    k=2-Fall
    Bei RiemannWeitere Zusammehänge, Nicht-Integrierbarkeit ....
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