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Eulersche e-Funktion und Logarithmen

Klingelbrett
Hinführung
e-Funktion, interaktive Begründung
Theoretische Herleitung
dieses Vorgehens
Logarithmus-Funktion Logarithmengesetze
Basis-Umrechnungen, Ableitung bei Basis aLogarithmen-Umrechnungen
Ableitung von ln
e als Grenzwert e als Reihe
Hinführung Fahrrad_auf_Kurve_2013_4k.jpg 85x100
  • Interaktive Hinführung zur der besonderen Basis
    Didaktische Anmerkung: Vorher sollte möglichst klar sein, wie man die Ableitungskurve als Ortslinie erzeugt.
  • typ-e-fkt1.jpg 619x422
    typ-e-fkt2.jpg 633x364
    typ-e-fkt3.jpg 647x381
  • Dies sind die Folien 10-13 aus dem Vortrag auf der GDM-Tagung Münster 2013 Ortslinie als Leitlinie   Handzettel   download
  • Theorie exp-fkt-ableit.jpg 580x406Theorie, auf der obiges Vorgehen beruht.

    Bildet man für eine Exponentialfunktion (a>0) an der Stelle x den Differenzenquotienten, so kann man aus dem Term a^x ausklammern. Der verbleibende Term ist als Differenzenquotient an der Stelle 0 auffassbar. Er hat also die Bedeutung: Sekantensteigung der Exponentialfunktion an der Stelle 0, d.h. im Punkt (0,1). Sein Grenzwert existiert offenbar, denn er ist die Tangentensteigung an der Stelle 0. Damit existiert auch der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x, also die Ableitung an der Stelle x. Sie ist also proportional zum Funktonswert a^x und der Proportionalitätsfaktor ist mt(0).

    Damit ist gesichert, das man nach der Basis suchen kann, die mt(0)=1 erfüllt. Diese Basis definiert die Eulerschezahl e.

    Es gilt dann exp-fkt-ableit-erg.jpg 169x79. e=2.718281828459045.....
    Achtung: Man kann ein mathematisches Objekt wie e nur an einer Stelle definieren, alle anderen Eigenschaften müssen dann bewiesen werden. Manchmal wird e über andere Egenschaften definiert, dann ist diese Ableitungseigenschaft nachzuweisen. Die oben vorgeführte Vorgehensweise ist m.E. die einzige, die mit schulischen Mitteln einsichtig ist.
    Logarithmusumkehr-ln.jpg 487x231Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen heißen Logarithmusfunktionen. Ihre Graphen gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden aus den Graphen der Exponentialfunktionen hervor.


  • Am wichtigsten ist das Paar:
    e-Funktion vs. ln-Funktion


  • e-ln.jpg 403x58
    Merke:e-ln-aufheben.jpg 425x63
    Allgemein  a-log.jpg 440x56
    Logarithmengesetze ln-gesetze.jpg 327x147
    Diese Formeln gelten für alle Logarithusfunktionen.
    Beweise
    ln-gesetz1-2.jpg 554x342     ln-gesetz3.jpg 277x223
    Umrechnungen
    Basiswechsel
    Ableitung
    basis-umrechnung.jpg 588x223
    Im Vergleich zum Abschnitt "Theorie" zeigt sich, dass die Steigung der Exponentialfunktionen y=a^x im Punkt (0/1) den Wert ln a hat.
    Log-Umrechnung
    ln-Ableitung
    log-umrechnung.jpg 412x309
    ln-ableitung.jpg 751x181
    Grenzwert e-gleich-lim-allein-k.jpg 491x200 Dieser Grenzwert existiert und ist der Wochenzeitung DIE ZEIT eine riesige Überschrift wert.
    Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl e.
    e-grenz.jpg 750x598
    Reihe e-reihe.jpg 505x109
    Dieses ergibt sich aus der Taylorreihe für die e-Funktion

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