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Polynome 4. Grades im Pantherkäfig

Was hier steht:Diesen Seite enthält vor allem die interaktiven Seiten zu den Pantherkäfigen, die die Polanome 4. Grades haben. Texte zu Hinführungen, Erkärungen Beweise finden sie bei den Materialien auf der Hauptseite zu Affenkästen .
Die Polynome 4. Grades teilen sich in zwei Klassen auf:
  1. mit zwei Wendepunkten
  2. ohne Wendepunkt
Grund: Die zweite Ableitung ist sicher eine Parabel. Klasse 2 betrifft Parabeln ohne Vorzeichenwechsel, also die mit keiner oder doppelter Nullstelle, Klasse 1 kommt für Parabeln mit genau 2 Nullstellen zustande.
  • Interaktive Erzeugung alle möglichen Typen von Polynomen 4. Grades

  • Auf der Seite Polynome 4. Grades in vollständigem Überblick habe ich das systematisch zusammengestellt.
  • Weiteres zu Polynomen allgemein
  • Weiteres zu Polynomen 4. Grades


  • Im Zusammenhang mit den Affenkästen ist (zunächst?) nur für Klasse 1 ergiebig. Also geht es im Folgenden um
    sämtliche Polynome 4. Grades mit genau zwei Wendepunkten.
    Hier ist ein weites Feld für erkundendes Lernen. Wenn die Lernenden wirklich frei in ihrem Suchen sein sollen, brauchen sie unbedingt mindestens einen GTR, besser noch CAS oder ein DMS wie GeoGebra. Vorteilhaft sind dynamische Werkzeuge.
    Wenn dann etwas gefunden ist, lässt es sich oft auch elgant von Hand beweisen. Schließlich habe ich Vieles aus meinen Affenkastenideen schon seit 1976 im Unterricht gemacht. Erstaulichlich ist aber, dass ich nach so vielen Jahren selbst immernoch etwas Neues finde.
    Den Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt z.B. habe ich erst im Feb. 2009 entdeckt.
    Der oben rechts dargestellte Zusammenhang zeigt, dass die Fläche zwischen den Wendetangenten und f links und rechts gleich ist. Dieses kommt in Spezialfällen auch immer wieder in den Zentralabituren vor. Die Gleichheit ist eine Folge des Scherungsgedankens
    Eine besondere Erkenntnis ist aber, dass immer der Wendepunktabstand links und rechts "angesetzt" wird. Wählt man letzteren ganzzahlig, dann sind auch die Schnittstellen ganzzahlig.

    Interaktive Dateien

    bedeutet, dass die Datei didaktisch aufbereitet ist und nach und nach erst die Inhalte zeigt, um besseres Verständnis zu ermöglichen.

    Linkes Bild: Auch diese beiden Flächen sind erstaunlicherweise gleich groß.
    Rechtes Bild: Die beiden rötlichen Flächen sind zusammen so groß wie die blaue Fläche.
    B teilt AC im Goldenen Schnitt. G teilt FH im Goldenen Schnitt. (u.a.)

    Linkes Bild: Die Sehne durch die Schnittpunkte mit den Wendetangenten definiert eine Parallenenschar. Man kann sie als Scherung aus dem geraden Fall entstanden denken.
    Rechtes Bild: Es ist einmal in einem Ansatz mit einer Standardform der "Wurzelaufbau" zu sehen.
    Abzissen: Maximum 0, WP +-1, Minima +- Wurzel(3), Schnitt mit WP-Gerade +- Wurzel(5), Schnitt mit Maximumgerade +-Wurzel(6) , Schnitt mit Wendetangenten +-3
    Ordinaten: Maximum 0, WP -5, Minima -9, Schnitt mit WP-Gerade -5, Schnitt mit Maximumgerade -0, Schnitt mit Wendetangenten +-27.
    Die hier ablesbaren Verhältnisse sind dann also bei allen symmetischen Polynomen mit zwei Wendepunkten (Klasse 1) vorhanden. Sämliche Polynome der Klasse 1 haben dieselben Verhältnisse, da sie hieraus durch Scherung hervorgehen.
    Die Eigenschaft der Goldenen Schnittes an der Geraden durch die Wendepunkte lässt sich hier in der Form Minor/Major=Major/Ganzes als phi= 1/Phi unmittelbar ablesen .

    Die Fünfecke visualisieren den goldenen Schnitt.
  • aff4-wende-pur.html Alte Datei, heute geht es schöner
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