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Differentialgleichungen
Mathematik mit MuPAD 2,Prof. Dr. Dörte Haftendorn 09.10.01 Version vom 25.11.01
ode heißt ordinary differential equation, gewöhnliche Differentialgleichung, als Argument hat ode die eigentliche
Gleichung und die Funktion, die gesucht ist. solve kann die so gegebene Differentialgleichung allgemein lösen.
Anfangswertproblem
Proben für diese Lösung:
Zeichnen des Richtungsfeldes
Color=RGB::Green):
field:= plot::vectorfield( [1,g(x,y)], x=xmin..xmax,y=ymin..ymax,
Grid=[8,10], Color = [Flat, RGB::Red])://Die 1 musss sein!!!!!!
Numerische Lösung
Heunverfahren
begin
x00:=float(x0):y00:=float(y0):
x1:=x00+h: m0:=g(x00,y00):z:=y00+m0*h:
mz:=g(x1,z):mm:=(m0+mz)/2:y1:=y00+mm*h:
return(x1,y1)
end_proc:
begin
x00:=float(x0):y00:=float(y0):
x1:=x00+h: m0:=g(x00,y00):z:=y00+m0*h:
mz:=g(x1,z):mm:=(m0+mz)/2:y1:=y00+mm*h:
DIGITS:=8;
[[x00,y00],h,m0,z,mz,mm,[x1,y1]];
end_proc:
Hier stehen [x0,y0],h,m0,z,mz,mm,[x1,y1]
Die exakte Lösung stimmt mit der numerischen Lösung und dem Richtungsfeld gut überein.
Numerische Lösung mit MuPAD
Frage, welche Syntax odesolve hat und wie man DGLn zeichnet
//Genau wie oben
Grid = [16, 10], Color = RGB::Black):
[x0Wert+i*h $ i=0..n], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [y0Wert],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Points, Color = RGB::Red],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
GridLines = [Steps = 0.25, Steps = 0.25],
Ticks = [Steps = 1.0, Steps = 0.5]):
Erzeugung einiger Lösungen in diesem Bereich
// [xmin+i*h $ i=0..n], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [ymin+j/2],
// [(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue])$ j=0..n_links ):
Es ist nicht gelungen, automatisch in einem 0.5 -Raster am Rand alle Lösungen zu erzeugen in diesem
gewählten Ausschnitt anzuzeigen, denn von den Werten der Lösungen wird der Ausgabewunsch übersteuert.
Daher sind einige Lösungen von Hand in ihrem Start und der dargestellten
Länge "zuerechtgefummelt".[-2+i*h $ i=0..6], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [0],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
[-1.5+i*h $ i=0..6], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [0],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
[-0.5+i*h $ i=0..12], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [0],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
[-1.75+i*h $ i=0..6], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [0.25],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
[-0+i*h $ i=0..6], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [0],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
[-1+i*h $ i=0..6], (x,Y) -> [g(x, Y[1])], [0.25],
[(x, Y) -> [x, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):
Isoklinen
Color=RGB::Green ) $ m=-8..8:
Man sieht hier deutlich, dass nur in einem schmalen Bereich um die x-Achse herum flache
Steigungen vorkommen können. In diesem Bereich entscheidelt sich durch kleinste Änderungen
in den Anfangswerten ob die Lösungsfunktion nach oben oder nach unten geht.
Internetadressen [www.doerte-haftendorn.de] [www.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt]
[www.fhnon.de/ing-math] [oben]
ing-math, Betreuung: Prof. Dr. Dörte Haftendorn 
, April 2002, update